Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C（0，3），A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0）．點P是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方．

（1）求這個二次函數的表達式．
（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大，并求出此時點P的坐標和四邊形面積的最大值。

Answer 1

【答案】
（1）解：將B、C兩點的坐標代入得 ，解得 ，

所以二次函數的表達式為y=﹣x2+2x+3

（2）解：如圖，

存在點P，使四邊形POP′C為菱形．

設P點坐標為（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，

若四邊形POPC是菱形，則有PC=PO，

連接PP則PE⊥CO于E，

∴OE=CE= ，

∴y= ，

∴-x2+2x+3= ，

解得x1= ，x2= （不合題意，舍去），

∴P點的坐標為（ ， ）；

（3）解：如圖1，

，

過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，﹣x2+2x+3）

易得，直線BC的解析式為y=﹣x+3．

則Q點的坐標為（x，﹣x+3）．

PQ=﹣x2+3x．

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ= ABOC+ QPBF+ QPOF= ×4×3+ （﹣x2+3x）×3=﹣ （x﹣ ）2+ ，

當x= 時，四邊形ABPC的面積最大，

此時P點的坐標為（ ， ），四邊形ABPC面積的最大值為 ．

【解析】（1）利用待定系數法將點C、點B的坐標代入函數解析式即可求出結果。
（2）要使四邊形POP′C為菱形，因此根據菱形的對角線互相平分，可得到P點的縱坐標，根據函數值與自變量的對應關系，建立方程可得答案。（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，先求出直線BC的函數解析式，根據兩函數解析式設點P的坐標，再表示出點Q的坐標，即可表示出PQ的長，再根據S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ，建立函數解析式，就可求出此時點P的坐標和四邊形面積的最大值。
【考點精析】利用確定一次函數的表達式和二次函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．