Question

【題目】已知：如圖1，將兩塊全等的含30角的直角三角板按圖所示的方式放置，∠BAC=∠B1A1C=30°，點B，C，B1在同一條直線上．

（1）求證：AB=2BC

（2）如圖２，將△ABC繞點Ｃ順時針旋轉α°（0＜α＜180），在旋轉過程中，設AB與A1C、A1B1分別交于點D、E，AC與A1B1交于點F．當α等于多少度時，AB與A1B1垂直？請說明理由．

（3）如圖3，當△ABC繞點C順時針方向旋轉至如圖所示的位置，使AB∥CB1，AB與A1C交于點D，試說明A1D=CD.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）當旋轉角等于30°時，AB與A1B1垂直.

（3）理由見解析

【解析】試題分析：(1)由等邊三角形的性質得AB=BB1，又因為BB1=2BC，得出AB=2BC;

(2) 利用AB與A1B1垂直得∠A1ED=90°，則∠A1DE=90°-∠A1=60°，根據對頂角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形內角和定理得∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA1=90°-∠A1CB=30°，然后根據旋轉的定義得到旋轉角等于30°時，AB與A1B1垂直；

(3)由于AB∥CB1，∠ACB1=90°，根據平行線的性質得∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到CD=AC，再根據旋轉的性質得AC=A1C，所以CD=A1C，則A1D=CD．

試題解析：

（1）∵△ABB1是等邊三角形；

∴ AB=BB1

∵ BB1=2BC

∴AB=2BC

（2）解：當AB與A1B1垂直時，∠A1ED=90°，

∴∠A1DE=90°-∠A1=90°-30°=60°，

∵∠B=60°，∴∠BCD=60°，

∴∠ACA1=90°-60°=30°，

即當旋轉角等于30°時，AB與A1B1垂直.

（3）∵AB∥CB1，∠ACB1=90°，

∴∠CDB=90°，即CD是△ABC的高，

設BC= ，AC= ，則由（1）得AB=，A1C= ，

∵，

即

∴，即CD=A1C，

∴A1D=CD.