Question

如圖，已知⊙Ｏ的弦ＡＢ等于半徑，連結ＯＢ并延長使ＢＣ＝ＯＢ．

（１）∠ＡＢＣ＝　　　　　°；
（２）ＡＣ與⊙Ｏ有什么關系？請證明你的結論；
（３）在⊙Ｏ上，是否存在點Ｄ，使得ＡＤ＝ＡＣ？若存在，請畫出圖形，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（１）１２０°（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切線，證明見解析（３）存在，證明見解析

解：（１）１２０°；……………………………………………………………１分
（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切線．……………………………………………………３分
證法一
∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＯＡ，∴△ＯＡＢ為等邊三角形，…………………………４分
∴∠ＯＢＡ＝∠ＡＯＢ＝６０°．……………………………………………５分
∵ＢＣ＝ＢＯ，∴ＢＣ＝ＢＡ，
∴∠Ｃ＝∠ＣＡＢ，……………………………………………………………６分
又∵∠ＯＢＡ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＢ＝２∠Ｃ，
即２∠Ｃ＝６０°，∴∠Ｃ＝３０°，………………………………………７分
在△ＯＡＣ中，∵∠Ｏ＋∠Ｃ＝６０°＋３０°＝９０°，
∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分
∴ＡＣ是⊙Ｏ的切線；
證法二：
∵ＢＣ＝ＯＢ，∴點Ｂ為邊ＯＣ的中點，……………………………………４分
即ＡＢ為△ＯＡＣ的中位線，…………………………………………………５分
∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ，即ＡＢ是邊ＯＣ的一半，……………………………６分
∴△ＯＡＣ是以ＯＣ為斜邊的直角三角形，…………………………………７分
∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分
∴ＡＣ是⊙Ｏ的切線；
（３）存在．……………………………………………………………………９分
方法一：
如圖２，延長ＢＯ交⊙Ｏ于點Ｄ，即為所求的點．…………………………１０分
證明如下：
連結ＡＤ，∵ＢＤ為直徑，∴∠ＤＡＢ＝９０°．…………………………１１分
在△ＣＡＯ和△ＤＡＢ中，
∵，∴△ＣＡＯ≌△ＤＡＢ（ＡＳＡ），………………１２分
∴ＡＣ＝ＡＤ．…………………………………………………………………１３分
（也可由ＯＣ＝ＢＤ，根據ＡＡＳ證明；或ＨＬ證得，或證△ＡＢＣ≌△ＡＯＤ）
方法二：
如圖３，畫∠ＡＯＤ＝１２０°，……………………………………………１０分
ＯＤ交⊙Ｏ于點Ｄ，即為所求的點．…………………………………………１１分
∵∠ＯＢＡ＝６０°，
∴∠ＡＢＣ＝１８０°－６０°＝１２０°．
在△ＡＯＤ和△ＡＢＣ中，
∵，∴△ＡＯＤ≌△ＡＢＣ（ＳＡＳ），………………１２分


∴ＡＤ＝ＡＣ．…………………………………………………………………１３分
（１）由已知可知△AOB為等邊三角形，利用平角求出∠ＡＢＣ的度數
（２）利用直角三角形的性質求出∠ＯＡＣ＝９０°，從而得出結論
（３）延長ＢＯ交⊙Ｏ于點Ｄ，即為所求的點，利用全等三角形求證