Question

【題目】已知拋物線y= x2+1（如圖所示）．

（1）填空：拋物線的頂點坐標是（ ， ），對稱軸是；
（2）已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上．在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）0；1；x=0（或y軸）
（2）

解：∵△PAB是等邊三角形，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°．

∴AB=20A=4．

∴PB=4．

解法一：把y=4代入y= x2+1，

得 x=±2 ．

∴P1（2 ，4），P2（﹣2 ，4）．

解法二：∴OB= =2

∴P1（2 ，4）．

根據拋物線的對稱性，得P2（﹣2 ，4）

（3）

解：∵點A的坐標為（0，2），點P的坐標為（2 ，4）

∴設線段AP所在直線的解析式為y=kx+b

∴

解得：

∴解析式為：y= x+2

設存在點N使得OAMN是菱形，

∵點M在直線AP上，

∴設點M的坐標為：（m， m+2）

如圖，作MQ⊥y軸于點Q，則MQ=m，AQ=OQ﹣OA= m+2﹣2= m

∵四邊形OAMN為菱形，

∴AM=AO=2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，

即：m2+（ m）2=22

解得：m=±

代入直線AP的解析式求得y=3或1，

當P點在拋物線的右支上時，分為兩種情況：

當N在右圖1位置時，

∵OA=MN，

∴MN=2，

又∵M點坐標為（ ，3），

∴N點坐標為（ ，1），即N1坐標為（ ，1）．

當N在右圖2位置時，

∵MN=OA=2，M點坐標為（﹣ ，1），

∴N點坐標為（﹣ ，﹣1），即N2坐標為（﹣ ，﹣1）．

當P點在拋物線的左支上時，分為兩種情況：

第一種是當點M在線段PA上時（PA內部）我們求出N點坐標為（﹣ ，1）；

第二種是當M點在PA的延長線上時（在第一象限）我們求出N點坐標為（ ，﹣1）

∴存在N1（ ，1），N2（﹣ ，﹣1）N3（﹣ ，1），N4（ ，﹣1）使得四邊形OAMN是菱形

【解析】解：（1）頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x=O）．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．