Question

【題目】如圖，兩條直線AB、CD相交于點O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉，速度為12°/s．兩條射線OM、ON同時運動，運動時間為t秒．（本題出現的角均小于平角）

（1）當t=2時，∠MON的度數為 ，∠BON的度數為 ；∠MOC的度數為

（2）當0＜t＜12時，若∠AOM=3∠AON-60°，試求出t的值；

（3）當0＜t＜6時，探究的值，問：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？

Answer 1

【答案】（1）144°，114°，60°；（2）t的值為秒或10秒；（3）當0＜t＜時，的值不是定值；當＜t＜6時，的值是3．

【解析】

（1）根據時間和速度分別計算∠BOM和∠DON的度數，再根據角的和與差可得結論；

（2）分兩種情況：①如圖所示，當0＜t≤7.5時，②如圖所示，當7.5＜t＜12時，分別根據已知條件列等式可得t的值；

（3）分兩種情況，分別計算∠COM、∠BON和∠MON的度數，代入可得結論．

（1）由題意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，

∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，

∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，

故答案為：144°，114°，60°；

（2）當ON與OA重合時，t=90÷12=7.5（s）

當OM與OA重合時，t=180°÷15=12（s）

①如圖所示，當0＜t≤7.5時，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，

解得t=，

②如圖所示，當7.5＜t＜12時，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，

綜上，t的值為秒或10秒；

（3）當∠MON=180°時，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，

∴15t+90+12t=180，解得t=，

①如圖所示，當0＜t＜時，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，

∴（不是定值），

②如圖所示，當＜t＜6時，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DN）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，

∴=3（定值），

綜上所述，當0＜t＜時，的值不是定值；當＜t＜6時，的值是3．