Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，點F是AB的中點，點E是BC邊上的點，DE＝AD＋BE，△DEF 的周長為l．

（1）求證：DF 平分∠ADE；

（2）若 FD＝FC，AB＝2，AD＝3，求l的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)8.

【解析】

（2）延長BF交CB延長線于點H，先證△ADE≌△HCE得AD=HB、DF=HF，

AD+BE=HB+BE=HE，結合DE＝AD＋BE得∠FDE=∠H，，根據∠ADF=∠H即可得證；
（3）先證∠BCD=90°得出DE =CE+CD =(3-BE)+2 =(3+BE)，據此求得BE的長，從而得出CE的長度，進而得出答案．

（1）延長BF交CB延長線于點H，

∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠H，∠DAB=∠HBA，

∵F為AB的中點，

∴AF=BF，

∴△ADF≌△HBF，

∴AD=HB、DF=HF，

∴AD+BE=HB+BE=HE，

∵DE＝AD＋BE,∴DE=HE，

∴∠FDE=∠H，

又∵∠ADF=∠H，

∴∠FDE=∠ADF，

∴DF 平分∠ADE；

（2）∵AD∥BC，AD＝BC,

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD,

∵FD=HF、FD＝FC，

∴FD=HF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，∠H=∠HCF，

∵∠ADF=∠H，

∴∠ADF+∠FDC=∠HCF+∠FCD，即∠ADC=∠BCD，

∵AD∥BC, ∠ADC+∠BCD =180°，

∴∠BCD=90°，

∴DE =CE+CD =(3-BE)+2 =(3+BE)，

解得：BE=,

∴DE=3+=,CE=3-=,

∴△DEF的周長l==8.