Question

閱讀材料：當拋物線的解析式中含有字母系數時，隨著系數中字母取值的不同，拋物線的頂點坐標也將發生變化．例如：由拋物線y=x²-2mx+m²+2m-1…（1）
得：y=（x-m）²+2m-1…（2）
∴拋物線的頂點坐標為（m，2m-1），設頂點為P（x，y），則：
當m的值變化時，頂點橫、縱坐標x，y的值也隨之變化，將（3）代入（4）
得：y=2x-1．…（5）
可見，不論m取任何實數時，拋物線的頂點坐標都滿足y=2x-1．
解答問題：
①在上述過程中，由（1）到（2）所用的數學方法是______，其中運用的公式是______．由（3）、（4）得到（5）所用的數學方法是______．
②根據閱讀材料提供的方法，確定拋物線y=x²-2mx+2m²-4m+3的頂點縱坐標y與橫坐標x之間的函數關系式．
③是否存在實數m，使拋物線y=x²-2mx+2m²-4m+3與x軸兩交點A（x₁，0）、B（x₂，0）之間的距離為AB=4，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由（提示：|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用配方法把二次函數的一般式配成頂點式，通過消元可得到拋物線的頂點坐標都滿足的函數關系；
（2）根據（1）給的方法：先配成y=（x-m）²+2m²-4m+2，得到頂點坐標，然后消去m，得到y與x的關系式；
（3）先根據根與系數的關系得到x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，然后利用AB=|x₁-x₂|，通過變形得到AB=，即可得到AB的最大值為2，由此得到不存在實數m，使AB=4．
解答：解：（1）配方法；完全平方公式；消元法；

（2）y=x²-2mx+2m²-4m+3=（x-m）²+2m²-4m+2，
∴拋物線的頂點坐標為（m，2m²-4m+2），設頂點為P（x，y），則：，
當m的值變化時，頂點橫、縱坐標x，y的值也隨之變化，
∴y=2x²-4x+2，
可見，不論m取任何實數時，拋物線的頂點坐標都滿足y=2x²-4x+2；

（3）不存在．理由如下：
∵拋物線y=x²-2mx+2m²-4m+3與x軸兩交點A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x²-2mx+2m²-4m+3=0的兩個根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，
∴AB=|x₁-x₂|===，
∴AB的最大值為2，
∴不存在實數m，使AB=4．
點評：本題考查了二次函數綜合題：拋物線的頂點式y=a（x-h）²+k（a≠0），則頂點坐標為（h，k）；拋物線與x軸兩交點的距離．也考查了代數式的變形能力．