Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線，點E是BC的中點，連接AE，AB=4，BC=3，將∠BAE繞點A逆時針旋轉，使∠BAE的兩邊分別與線段CD的延長線相交于點G，H．當AH=AC時，CG= ．

Answer 1

【答案】．

【解析】

試題分析：設∠BAE=∠GAH=α，∠DAG=β，由四邊形ABCD是矩形，得到∠B=90°，根據勾股定理得到AE==，由三角函數的定義得到sinα=，cosα=，sin（α+β）=，cos（α+β）==，根據兩角和和兩角差的正余弦公式求得cosβ=，sinβ=，于是得到tanβ===，即可得到結論．

解：設∠BAE=∠GAH=α，∠DAG=β，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴AE==，

∴sinα=，cosα=，

∴sin（α+β）=，cos（α+β）==，

∴cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinβ=×+=，

sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，

∴tanβ===，

∴DG=ADtanβ=3×=，

∴CG=4+=．

故答案為：．