Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°， BC∥x軸，拋物線y=ax²－2ax＋3經過△ABC的三個頂點，并且與x軸交于點D、E，點A為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接CD，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P使△PCD為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=-x²+2x+3；（2）P₁(1，4)  P₂(1，-2) .

試題分析：（1）根據題意知點B的坐標為（0，3）拋物線的對稱軸方程為x=1，所以A點坐標為（1，4），C點坐標為（2，3），由此可求拋物線的解析式.
(2)分兩種情況：CD為直角邊，CD為斜邊進行討論，由勾股定理得到方程即可求出P點坐標.
試題解析：（1）∵y=ax²－2ax＋3
∴它的對稱軸為直線x=
令x=0，則y=3,
∴B（0，3）
根據拋物線的對稱性知：C（2，3），A（1，4）
把A（1，4）代入y=ax²－2ax＋3，得：a=-1
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；
（2）存在.分兩種情況：
（1）當CD為直角邊時，設P（1，a）：
i)當點P在x軸上方時，DP=，CP=，，
∵CD²+CA²=AD²
∴18+2=4+a²
即：a²=16
解得a=±4（負舍去）
∴a=4
ii)當點P在x軸下方時，CD²+DP²=CP²
∴
解得：a=-2
(2)當CD為斜邊時，同理可以得出：a=
綜上所述，點P的坐標分別為：P₁(1，4)  P₂(1，-2)