Question

14．如圖，點C、D在以AB為直徑的⊙O上，且CD平分∠ACB，若AB=2，∠CBA=15°，則CD的長為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接OC，過點O作OE⊥CD，構造直角三角形，利用勾股定理和三角函數解答．

解答 解：連接OC，過點O作OE⊥CD，垂足為點E，
∵∠ABC=15°，OB=OC，
∴∠OCB=15°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠OCE=∠BCD-∠OBC=45°-15°=30°，
而AB=2OC=2，
∴OC=1，
∵cos30°=$\frac{CE}{OC}$，
∴在Rt△OCE中，CE=OC×cos30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OE⊥CD，
∴CD=2CE=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵．