Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4㎝，DC＝6㎝，試求AD的長. 小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題。請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

1.分別以AB、AC所在的直線為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點分別為點E、F，延長EB、FC相交于G點，試證明四邊形AEGF是正方形；

2.設AD＝x㎝,聯系(1)的結論，試求出AD的長；

 

Answer 1

 

1.由翻折得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．

∴∠EAF=90°．

又∵AD⊥BC，

∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．∴四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD，

∴AE=AF． 

∴矩形AEGF是正方形．

2.解：∵AD=x，則AE=EG=GF=x，

∵BD=4，DC=6，∴BE=4，CF=6．

∴BG=x-4，CG=x-6．（6分）

在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²

∴（x-4）²+（x-6）²=10²，

∴x²-10x-24=0．

解得x₁=12，x₂=-2（舍），

所以AD=x=12

 解析:略