Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB為直徑畫⊙O，交AC于點D，半徑OE∥BD，連接BE，DE，BD，設BE交AC于點F，若∠DEB＝∠DBC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若BF＝BC＝2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

根據直徑所對的圓周角是直角即可進行判斷BC是⊙O的切線；

連接OD, 利用扇形面積ODE-△OBD=陰影部分的面積，即可求出答案.

證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠ABD=90°，

∵∠A=∠DEB，∠DEB=∠DBC，

∴∠A=∠DBC，

∵∠DBC+∠ABD=90°，

∴BC是⊙O的切線；

（2）連接OD，

∵BF=BC=2，且∠ADB=90°，

∴∠CBD=∠FBD，

∵OE∥BD，

∴∠FBD=∠OEB，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠CBD=∠OEB=∠OBE=∠ADB=90°=30°，

∴∠C=60°，

∴AB=BC=2，

∴⊙O的半徑為，

∴陰影部分的面積=扇形DOB的面積﹣三角形DOB的面積=．