Question

已知，如圖，等邊三角形ABC邊長為2，以BC為對稱軸將△ABC翻折，得到四邊形ABDC，將此四邊形放在直角坐標系xOy中，使AB在x軸上，點D在直線y=

3

2

x-

3

上．
（1）根據上述條件畫出圖形，并求出A、B、D、C的坐標；
（2）若直線y=

3

2

x-

3

與y軸交于點P，拋物線y=ax²+bx+c，過A、B、P三點，求這條拋物線的函數關系式；
（3）求出拋物線的頂點坐標，并指出這個點在△ABC的什么特殊位置．

Answer 1

分析：（1）已知了正三角形的邊長為2，即可求得D、C的縱坐標為

3

，將其代入直線y=

3

2

x-

3

中，即可求得點D的坐標，易知四邊形ABDC是菱形，根據菱形的邊長為2，以及點D的坐標，即可確定出其他三點的坐標．
（2）根據直線y=

3

2

x-

3

的解析式，易求得點P的坐標，而A、B的坐標在（1）題已經求得，即可利用待定系數法求出該拋物線的解析式．
（3）可用配方法將（2）題所得函數解析式化為頂點坐標式，進而可求出其頂點坐標，再根據坐標來判斷它在△ABC中的特殊位置．

解答：解：（1）依題意，四邊形ABDC為菱形，
∵AB=2，∠CAB=60°，
∴C、D兩點縱坐標均為

3

；
設D(x，

3

)，
∵點D在直線y=

3

2

x-

3

上，
∴

3

=

3

2

x-

3

，x=4，
∴D(4，

3

)，C(2，

3

)，A(1，0)，B(3，0)；
如圖，（4分）

（2）P(0，-

3

)，拋物線過A、B、P三點，
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0

解得

a=- 3 3 b= 4 3 3 c=- 3

；
∴y=-

3

3

x2+

4 3

3

x-

3

．（6分）

（3）y=-

3

3

x2+

4 3

3

x-

3

=-

3

3

(x-2)2+

3

3

，
∴頂點(2，

3

3

)；（7分）
這個點在△ABC的內心位置．（8分）
（答外心、重心、垂心均可）

點評：此題主要考查了圖形的旋轉變換、等邊三角形的性質、二次函數界限的確定等知識．正確的求出點D的坐標是解決此題的關鍵，難度適中．