Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（1，0），已知拋物線y=x2+mx﹣2m（m是常數），頂點為P．

（1）當拋物線經過點A時．

①求頂點P的坐標；

②設直線l：y=3x+1與拋物線交于B、C兩點，拋物線上的點M的橫坐標為n（﹣1≤n≤3），過點M作x軸的垂線，與直線l交于點Q，若MQ=d，當d隨n的增大而減少時，求n的取值范圍．

（2）無論m取何值，該拋物線都經過定點H，當∠AHP=45°時，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①點P（﹣，﹣）；②1≤n≤3；（2）拋物線的表達式為：y=x2﹣4x+8或或y=x2+4x﹣8或．

【解析】

（1）①將點A的坐標代入拋物線表達式可得m值，再根據拋物線表達式確定頂點P的坐標即可；

②畫出函數圖象，聯立拋物線與直線表達式可得點B、C坐標，易知點M的橫坐標為n（﹣1≤n≤3）時，圖象對應的是BC之間的部分，設點M（n，n2+n﹣2），點Q（n，3n+1），可得d與n的關系式，可知其對稱軸為n=1，根據d的增減性可確定n的取值范圍；

（2）點P的坐標為：（﹣m，﹣m2﹣2m），由點A、H的坐標知，AH=，tanα=4；點P存在在AH左右兩側的情況，①當點P在AH右側時，過點M作MR⊥AH于點R，設RM=4x=RH，則AR=x，根據AH=AR+RH可得x值，易知點M坐標，由點H、M坐標可得直線HM表達式，將點P坐標代入即可求出m值；②當點P在AH左側時，同理求出點M坐標及直線HM的表達式，將點P坐標代入即可求出m值.

解：（1）①將點A（1，0）代入y=x2+mx﹣2m得，

解得

所以拋物線的表達式為y=x2+x﹣2，

點P（﹣，﹣）；

②函數圖象如圖1所示，

聯立拋物線與直線表達式

得：

解得x=﹣1或3，

當x=﹣1時，，

當時，

所以點B、C的坐標分別為：（﹣1，﹣2）、（3，10），

故M的橫坐標為n（﹣1≤n≤3）時，圖象對應的是BC之間的部分，

設點M（n，n2+n﹣2），點Q（n，3n+1），

d=QM=3n+1﹣n2﹣n+2=﹣n2+2n+3，函數的對稱軸為：n=1，

當d隨n的增大而減少，n≥1，而﹣1≤n≤3，

故1≤n≤3．

（2）點P的坐標為：（﹣m，﹣m2﹣2m），

由點A、H的坐標知，AH=，tanα=4；點P存在在AH左右兩側的情況，如圖2所示；

①當點P在AH右側時，如圖，

過點M作MR⊥AH于點R，∠AHP=45°，tanα=4，

設：RM=4x=RH，則AR=x，

則AH=AR+RH=5x=，解得：x=，

則AM=x=，則點M（，0）；

由H、M的坐標得直線HM的表達式為：y=﹣x+，

將點P的坐標代入上式并整理得：3m2+34m+88=0，解得：m=﹣4或﹣；

②當點P在AH左側時，如圖，

同理可得：點M（5，0），

則直線HM的表達式為：y=x+，

將點P的坐標代入上式并整理得：7m2+48m+80=0，

解得：m=4或；

綜上，拋物線的表達式為：y=x2﹣4x+8或y=x2﹣x+或y=x2+4x﹣8或y=x2+x﹣．