Question

【題目】（12分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD=3．

（1）求MP的值；

（2）在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合．當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最��？

（3）若點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）由折疊的性質(zhì)和矩形性質(zhì)以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可計(jì)算出MP的長(zhǎng)；

（2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得點(diǎn)F即為所求，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，則AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再證明ME=MP=5，利用勾股定理計(jì)算出MN=3， NM′=11，得出△AFM′∽△NEM′，利用相似比即可計(jì)算出AF；

（3）如圖2，由（2）知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過(guò)點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得此時(shí)MG+EQ最小，于是四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理計(jì)算出M′R得出，從而得到四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP==5；

（2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，MN===3，∴NM′=11，∵AF∥ME，∴△AFM′∽△NEM′，∴，即，解得AF=，即AF=時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最��；

（3）如圖2，由（2）知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過(guò)點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此時(shí)MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R==，∵ME=5，GQ=2，∴四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值是．