Question

已知：如圖，中，，以為直徑的⊙O交于點，
于點．
（1）求證：是⊙O的切線；
（2）若，求的值．

Answer 1

（1）見解析；（2）

解析試題分析：（1）由OB=OP可得∠B=∠OPB，由可得∠B=∠C，即可證得OP∥AC，再結合即可證得結論；
(2)連接AP，根據直徑所對是圓周角是直角可得AP⊥BC，再根據等腰三角形的三線合一的性質可得BP=CP，最后利用含30°角的直角三角形的性質結合勾股定理即可求得結果。
（1）∵OB=OP
∴∠B=∠OPB 
∵
∴∠B=∠C 
∴∠C=∠OPB
∴OP∥AC 
∴∠OPD=∠CDP=90°
∵OP是半徑
∴是⊙O的切線；
(2)連接AP

∵AB是直徑
∴AP⊥BC
∵
∴BP=CP，∠B=∠C
∵∠CAB=120°
∴∠B=∠C=30°
∴在Rt△ABP中，
在Rt△ABP中，
∴.
考點：本題考查的是切線的判定及性質，勾股定理
點評：解答本題的關鍵是熟記要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．