Question

已知：如圖△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O交AB于D，過D作⊙O的切線交BC于點E，EF⊥AB，垂足為F．
（1）求證：DE=

1

2

BC；
（2）若AC=6，BC=8，求S_△ACD：S_△EDF的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知：EC、ED均是圓O的切線，根據切線長定理可得出EC=DE，∠ECD=∠EDC；根據等角的余角相等，可得出∠EDB=∠B，因此DE=BE，由此可得出DE=EC=BE，由此可得證；
（2）由（1）知：DE=BE，因此DF=BF，根據等高的三角形面積比等于底邊比可得出△EDF的面積是△EDB的面積的一半，同理可得出△EDB的面積是△CDB的面積的一半，因此△EDF的面積是△CDB的面積的四分之一．那么本題只需得出△ADC和△CDB的面積比即可，即得出AD：BD的值即可．

解答：（1）證明：∵EC、ED都是⊙O的切線，
∴EC=ED，∠ECD=∠EDC．
∵∠EDC+∠EDB=90°，∠ECD+∠B=90°，
∴∠EDB=∠B．
∴ED=BE．
∴DE=BE=EC．
∴DE=

1

2

BC．

（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，則AB=10，
根據射影定理可得：
AD=AC²÷AB=3.6，
BD=BC²÷AB=6.4，
∴S_△ACD：S_△BCD=AD：BD=9：16，
∵ED=EB，EF⊥BD，
∴S_△EDF=

1

2

S_△EBD，
同理可得S_△EBD=

1

2

S_△BCD，
∴S_△EDF=

1

4

S_△BCD，
∴S_△ACD：S_△EDF=

9

4

．

點評：本題主要考查了切線的性質、勾股定理、直角三角形的性質等知識點．