Question

【題目】（已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結AF和CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長；

（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=AC·AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）24cm；（3）存在，過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點，證明見解析.

【解析】

(1)由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質，易證得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，則可證得四邊形AFCE是平行四邊形，又由AC⊥EF，則可證得四邊形AFCE是菱形；

(2)由已知可得：S△ABF=ABBF=24cm2，則可得AB2+BF2=（AB+BF）2-2ABBF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），則可求得AB+BF的值，繼而求得△ABF的周長．

(3)過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點，首先證明四邊形AFCE是菱形，然后根據題干條件證明△AOE∽△AEP，列出關系式．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，

由折疊的性質可得：OA=OC，AC⊥EF，

在△AOE和△COF中，

∵，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴四邊形AFCE是菱形；

（2）∵四邊形AFCE是菱形，

∴AF=AE=10cm，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴S△ABF=ABBF=24cm2，

∴ABBF=48（cm2），

∴AB2+BF2=（AB+BF）2-2ABBF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），

∴AB+BF=14（cm）

∴△ABF的周長為：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．

（3）證明：過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．

當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，

∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF

∴四邊形AFCE是菱形．

∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，

由作法得∠AEP=90°，

∴△AOE∽△AEP，

∴，則AE2=AOAP，

∵四邊形AFCE是菱形，

∴AO＝AC，

∴AE2=ACAP，

∴2AE2=ACAP．