Question

【題目】如圖，在中， ， 的垂直平分線分別與， 及的延長線相交于點， ， ，且. ⊙O是的外接圓， 的平分線交于點，交⊙O于點，連接， .

（1）求證： ；

（2）試判斷與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若， 求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）與相切． 理由見解析;（3）.

【解析】試題分析：

（1）兩個三角形都是直角三角形，有一條直角邊相等，只需要得到另一組對應角相等即可；

（2）連接OB，設法結合（1）的結論得到∠DBC=∠OBC，證明∠DBO=90°；

（3）由△HFB與△HBF是一對相似三角形，得到，而△HEF是一個等腰直角三角形，則需要求EF的長，在直角△BEF中BE=AB=1，故要求BF的長，又BF=BC，BC=BE+CE，CE=AE，在直角△ABE中求得AE的長.

試題解析：

（1）∵DF⊥AC，△ABC為Rt△，

∴∠CED＝∠FEB， .

∠ABC＝∠EBF＝Rt∠，

又，∴（）.

（2）與相切． 理由如下：

連接， ∵DF是AB的中垂線，∠ABC＝90°，∴DB＝DC＝DA，

∴∠DBC＝∠C.

由（1）∠DCB＝∠EFB，而∠EFB＝∠OBF，∴∠DBC＝∠OBF.

∴，

∴．∴BD與⊙O相切.

（3）連接，AE.

∵BH是∠EBF的平分線，∴∠EBH＝∠HBF＝45°. ∠HFE＝∠HBE＝45°.

又∠GHF＝∠FHB，∴△GHF∽△FHB，

∴＝，∴HG·HB＝HF2.

∵⊙O是Rt△BEF的外接圓，∴EF為⊙O的直徑，∴∠EHF＝90°，

又∠HFE＝45°，∴EH＝HF. ∴EF2＝EH2＋HF2＝2HF2，

∵DF是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，

又∵，∴AB=BE=1，∴AE=CE=，所以BF=BC=，

由勾股定理得， ，

∴，∴.