Question

【題目】平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）．

發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)，求a的值即陰影部分的面積；
拓展：如圖3，當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM=x（x＞0），用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng)，并求x的取值范圍．
探究：當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，直接寫出sinα的值．

Answer 1

【答案】解：發(fā)現(xiàn)：如圖2，

設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R，連接RK，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，

過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，

∴∠POH=30°，

∴α=60°﹣30°=30°，

∵AD∥BC，

∴∠RPO=∠POH=30°，

∴∠RKQ=2×30°=60°，

∴S扇形KRQ= = ，

在Rt△RKE中，RE=RKsin60°= ，

∴S△PRK= RE= ，

∴S陰影= + ；

拓展：如圖5，

∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，

∴△AON∽△BMN，

∴ ，即 ，

∴BN= ，

如圖4，

當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，x取最大值，作QF⊥AD于點(diǎn)F，BQ=AF= ﹣AO=2 ﹣1，

∴x的取值范圍是0＜x≤2 ﹣1；

探究：半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況；

①如圖5，

半圓K與BC相切于點(diǎn)T，設(shè)直線KT與AD，OQ的初始位置所在的直線分別交于點(diǎn)S，O′，

則∠KSO=∠KTB=90°，

作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，

OS= =2，

在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2 ，KO′=2 ﹣ ，

在Rt△KGO′中，∠O′=30°，

∴KG= KO′= ﹣ ，

∴在Rt△OGK中，sinα= = = ，

②當(dāng)半圓K與AD相切于T，如圖6，

同理可得sinα= = = = ；

③當(dāng)半圓K與CD切線時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，且為切點(diǎn)，

∴α=60°，

∴sinα=sin60°= ；

綜上所述sinα的值為： 或 或

【解析】首先設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R，連接RK，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系得出∠POH=30° ；進(jìn)而求得α的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)及圓周角定理得出∠RKQ的度數(shù)，然后利用S陰影=S扇形KRQ+S△PRK求得答案；
拓展：如圖5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得BN，如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，x取最大值，作QF⊥AD于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理求出BQ=AF的值，則可求出x的取值范圍；
探究：半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況：①半圓K與BC相切于點(diǎn)T，②當(dāng)半圓K與AD相切于T，③當(dāng)半圓K與CD切線時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，且為切點(diǎn)；分別求解即可求得答案．