Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，AD=AC，EC交AD于點(diǎn)F．

(1)求證：△ABC∽△FCD；

(2)求證：FC=3EF．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）由AD=AC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由已知角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可得證；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由D是BC邊的中點(diǎn)，得到BC=2CD，于是得到AD=AC=2FD，由于∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，推出∠EAD=∠ACE，得到△EAF∽△ECA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．

(1)∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACB，

∵∠B=∠ECB，

∴△ABC∽△FCD；

(2)∵△ABC∽△FCD，

∴ ，

∵D是BC邊的中點(diǎn)，

∴BC=2CD，

∴AD=AC=2FD，

∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，

∴∠EAD=∠ACE，

∴△EAF∽△ECA，

∴，

∴EC=2EA=4EF，

∴FC=3EF．