Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸、y軸分別交于A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點.

（1）試求拋物線的解析式；

（2）P是直線BC上方的拋物線上的一個動點，設P的橫坐標為t，P到BC的距離為h，求h與t的函數關系式，并求出h的最大值；

（3）設點M是x軸上的動點，在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出所有符合條件的點N坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋2x＋3.(2) t＝時，最大值為.(3) 存在．N1(0，－3)，N2(－，3)，N3(，3)，N4(－5，3)．

【解析】試題分析：（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；
（2）過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點E，PH⊥BC于點H，連結PB、PC，可先求得直線BC的解析式，則可用t分別表示出E的坐標，從而可表示出PE的長，再可用t表示出△PBC的面積，再利用等積法可用t表示出h，利用二次函數的性質可求得h的最大值；
（3）分AM、CM和AC為對角線三種情況，分別根據菱形的性質可求得N點的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點E，PH⊥BC于點H，連結PB、PC．
∵B（3，0）、C（0，3），
∴OB=OC=3，BC＝，
設直線BC解析式為y=kx+n，則，解得

∴直線BC解析式為y=-x+3，
∵點P的橫坐標為t，且在拋物線y=-x2+2x+3上，
∴P（t，-t2+2t+3），
又∵PD⊥x軸于點D，交BC于點E，
∴D（t，0），E（t，-t+3），
∴PE=（-t2+2t+3）-（-t+3）=-t2+3t，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PEBD+PEOD＝PE(BD+OD)＝PEOB= (t2+3t)×3＝t2+t，
又∵S△PBC＝BCPH＝×3h＝h，
∴h＝t2+t，
∴h與t的函數關系式為：h＝t2+t（0＜t＜3），
∵h＝t2+t＝ (t)2+，
∴當t＝時，h有最大值為；
（3）存在．
若AM為菱形對角線，則AM與CN互相垂直平分，
∴N（0，-3）；
若CM為菱形對角線，則CN＝AM＝AC＝＝，
∴N(，3)或N(，3)；
若AC為菱形對角線，則CN=AM=CM，
設M（m，0），由CM2=AM2，得m2+32=（m+1）2，解得m=4，
∴CN=AM=CM=5，
∴N（-5，3）．
綜上可知存在點N，使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，符合條件的點N有4個：N1（0，-3），N2(，3)，N3(，3)，N4（-5，3）．