Question

【題目】對于二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線E．現(xiàn)有點(diǎn)A（2，0）和拋物線E上的點(diǎn)B（﹣1，n），請完成下列任務(wù)：
（1）當(dāng)t=2時(shí)，拋物線E的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；
（2）判斷點(diǎn)A是否在拋物線E上；
（3）求n的值．
（4）通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線E總過定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
（5）二次函數(shù)y=﹣3x2+5x+2是二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．
（6）以AB為一邊作矩形ABCD，使得其中一個(gè)頂點(diǎn)落在y軸上，若拋物線E經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D中的三點(diǎn)，求出所有符合條件的t的值．

Answer 1

【答案】
（1）（1，﹣2）
（2）

解：將x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，

∴點(diǎn)A（2，0）在拋物線E上

（3）

解：將x=﹣1代入拋物線E的解析式中，得：

n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6

（4）A（2，0）、B（﹣1，6）
（5）

解：將x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即點(diǎn)A在拋物線上．

將x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，計(jì)算得：y=﹣6≠6，

即可得拋物線y=﹣3x2+5x+2不經(jīng)過點(diǎn)B，

二次函數(shù)y=﹣3x2+5x+2不是二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”

（6）

解：如圖，作矩形ABC1D1和ABC2D2，過點(diǎn)B作BK⊥y軸于點(diǎn)K，過B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△MBA，

則： = ，即 = ，求得 C1K= ，所以點(diǎn)C1（0， ）．

易知△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= ，

∴點(diǎn)D1（3， ）．

易知△OAD2∽△GAD1， = ，由AG=1，OA=2，GD1= ，求得 OD2=1，∴點(diǎn)D2（0，﹣1）．

易知△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，所以點(diǎn)C2（﹣3，5）．

∵拋物線E總過定點(diǎn)A（2，0）、B（﹣1，6），

∴符合條件的三點(diǎn)可能是A、B、C或A、B、D．

當(dāng)拋物線E經(jīng)過A、B、C1時(shí)，將C1（0， ）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），求得t1=﹣ ；

當(dāng)拋物線E經(jīng)過A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2時(shí)，可分別求得t2= ，t3=﹣ ，t4= ．

∴滿足條件的所有t的值為：﹣ ， ，﹣ ， ．

【解析】解：（1）將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，
∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣2）．
4）將拋物線E的解析式展開，得：
y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4
∴拋物線E必過定點(diǎn)（2，0）、（﹣1，6）．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．