Question

已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標為(0，

p

2

)，且ac=

1

4

．
（1）若該函數的圖象經過點（-1，-1）．
①求使y＜0成立的x的取值范圍．
②若圓心在該函數的圖象上的圓與x軸、y軸都相切，求圓心的坐標．
（2）經過A（0，p）的直線與該函數的圖象相交于M，N兩點，過M，N作x軸的垂線，垂足分別為M₁，N₁，設△MAM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面積分別為S₁，S₂，S₃，是否存在m，使得對任意實數p≠0都有S₂²=mS₁S₃成立？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標為(0，

p

2

)，且ac=

1

4

，以及函數的圖象經過點（-1，-1），得出關于a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c的值．
①畫出圖象，即可得出使y＜0成立的x的取值范圍；
②根據圓與直線相切得出OQ=FO，再解一元二次方程即可得出；
（2）分別過M，N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是M₁和N₁．分別表示出△MAM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面積S₁，S₂，S₃再條件S₂²=mS₁S₃成立進而求出m的值．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標為(0，

p

2

)，且ac=

1

4

，
又∵函數的圖象經過點（-1，-1），
代入二次函數解析式得：

- b 2a =0 ac= 1 4 a-b+c=-1

，
解得：

a=- 1 2 b=0 c=- 1 2

，
y=-

1

2

x²-

1

2

，
①利用函數圖象可知使y＜0成立的x的取值范圍是：全體實數；
②若圓心在該函數的圖象上的圓與x軸、y軸都相切，
假設與x軸切點為Q，與y軸切點為F，
∴OQ=FO，
∴-x=-

1

2

x²-

1

2

，
整理得：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴QO=FO=1，
∴圓心的坐標為：（1，-1）或（-1，-1）；

（2）二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標為(0，

p

2

)，且ac=

1

4

．
∴該二次函數的解析式為：y=

1

2p

x²+

p

2

，
∵過點A的直線與函數y=

1

2p

x²+

p

2

的圖象交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴過點A的直線對應的函數為y=kx+p，
S₁=

1

2

|x₁|•|y₁|，
S₂=

1

2

|x₁-x₂|•|p|，
S₃=

1

2

|x₂||y₂|，
把y=kx+p代入y=

1

2p

x²+

p

2

得，x²-2pkx-p²=0，
∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
∴S₁S₃=

1

4

|x₁x₂y₁y₂|=

1

4

p²|（kx₂+p）（kx₂+p）|=

1

4

p⁴（k²+1），
S₂²=

1

4

（x₂-x₁）²p²=p⁴（k²+1）．
∴4S₁S₃=S₂²，故存在m=4，使得對任意實數p≠0成立．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及圓的切線性質和三角形面積求法，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．