Question

【題目】如圖所示，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在OA邊上的點E處，分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．

（1）求OE的長．

（2）求經過O，D，C三點的拋物線的解析式．

（3）一動點P從點C出發，沿CB以每秒2個單位長的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發，沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當點P到達點B時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，DP=DQ．

（4）若點N在（2）中的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使得以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）t=；（4）存在，M點的坐標為（2,16）或（-6,16）或

【解析】

（1）由矩形的性質以及折疊的性質可求得CE、CO的長，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE的長；
（2）設AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程可求得m的值，從而得出D點坐標，結合C、O兩點，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（3）用含t的式子表示出BP、EQ的長，可證明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；

（4）由（2）可知C（-4，0），E（0，-3），設N（-2，n），M（m，y），分以下三種情況：①以EN為對角線，根據對角線互相平分，可得CM的中點與EN的中點重合，根據中點坐標公式，可得m的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；②當EM為對角線，根據對角線互相平分，可得CN的中點與EM的中點重合，根據中點坐標公式，可得m的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；③當CE為對角線，根據對角線互相平分，可得CE的中點與MN的中點重合，根據中點坐標公式，可得m的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解：（1）∵OABC為矩形，∴BC=AO=5，CO=AB=4．

又由折疊可知，，

；

（2）設AD=m，則DE=BD=4-m，
∵OE=3，∴AE=5-3=2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，

∴m2+22=(4-m)2，∴m=，∴D，

∵該拋物線經過C(-4，0）、O（0，0），

∴設該拋物線解析式為，

把點D代入上式得，

∴a=，

∴；

（3）如圖所示，連接DP、DQ．由題意可得，CP=2t，EQ=t，則BP=5-2t．

當DP=DQ時，在Rt△DBP和Rt△DEQ中，

，

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），∴BP=EQ，

∴5-2t=t，∴t=．

故當t=時，DP=DQ；

（4）∵拋物線的對稱軸為直線x==-2，
∴設N（-2，n），
又由（2）可知C（-4，0），E（0，-3），設M（m，y），
①當EN為對角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時，如圖1，

則線段EN的中點橫坐標為=-1，線段CM的中點橫坐標為，
∵EN，CM互相平分，
∴=-1，解得m=2，
又M點在拋物線上，
∴y=×22+×2=16，
∴M（2，16）；
②當EM為對角線，即四邊形ECMN是平行四邊形時，如圖2，

則線段EM的中點橫坐標為，線段CN中點橫坐標為，

∵EM，CN互相平分，
∴m=-3，解得m=-6，
又∵M點在拋物線上，

，

∴M（-6，16）；
③當CE為對角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時，如圖3，

線段CE的中點的橫坐標為=-2，線段MN的中點的橫坐標為，

∵CE與MN互相平分，∴，

解得m=-2，
當m=-2時，y=，

即M．

綜上可知，存在滿足條件的點M，其坐標為（2，16）或（-6，16）或．