Question

如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，M是X軸正半軸上一點，⊙M與X軸的正半軸交于A、B兩點，A在B的左側(cè)，且OA、OB的長是方程x²-12x+27=0的兩根，ON⊥MN于點N，且點N在⊙M上，點N在第四象限．
（1）求⊙M的直徑；
（2）求直線ON對應的函數(shù)關系式；
（3）在x軸上是否存在一點T，使△OTN是等腰三角形？若存在，請直接寫出T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由因式分解求出方程的解，確定A，B兩點的坐標，求出⊙M的直徑，
（2）由OM，MN的長可以求出∠MON的度數(shù)，寫出直線ON的解析式，
（3）由ON作為底邊和腰，可以直接寫出T點坐標．

解答：解：（1）（x-3）（x-9）=0
∴x₁=3，x₂=9，
∴A（3，0），B（9，0），
∴AB=9-3=6．
∴⊙M的直徑是6．

（2）∵ON⊥MN，點N在⊙M上，且在第四象限，
OM=6，MN=3，
∴∠MON=30°
∴直線ON的解析式為：y=-

3

3

x．

（3）當ON是等腰三角形的腰時，ON=

62-32

=3

3

，以O為圓心，ON長為半徑畫弧，與x軸交于T點，則T（-3

3

，0）和T（3

3

，0），以N為圓心，NO長為半徑畫弧，與x軸交于T點，則T（9，0）；
當ON是等腰三角形的底邊時，T（3，0）．
故T點坐標有：（-3

3

，0），（3

3

，0），（9，0），（3，0）．

點評：本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，由方程的根確定A，B兩點的坐標，可以求出直徑的長．有直線和圓的位置關系及圓的半徑的關系，可以求出直線的解析式．數(shù)形結(jié)合可以直接寫出T點坐標．