Question

已知：如圖，在直角坐標系中，以點M（1，0）為圓心、直徑AC為2

2

的圓與y軸交于A、D兩點．
（1）求點A的坐標；
（2）設過點A的直線y=x+b與x軸交于點B．探究：直線AB是否⊙M的切線并對你的結論加以證明；
（3）在（2）的前提下，連接BC，記△ABC的外接圓面積為S₁、⊙M面積為S₂，若

S1

S2

=

h

4

，拋物線y=ax²+bx+c經過B、M兩點，且它的頂點到x軸的距離為h．求這條拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOM中根據勾股定理就可以求出OA的長，從而得到點A的坐標；
（2）把A點的坐標代入直線y=x+b的解析式，進而可以求出OA、OB、OM的長度，根據勾股定理可以得到AB、BM、AM的長度，根據勾股定理的逆定理就可以證出△ABM是直角三角形，得到直線AB是⊙M的切線；
（3）△ABC是直角三角形，BC是斜邊，即外接圓的直徑．在直角△ABC中，根據勾股定理就可以求出BC的長，就可以求出△ABC的外接圓面積S₁．⊙M面積為S₂容易得到．根據

S1

S2

=

h

4

就可以求出h的值，則得到拋物線的頂點的縱坐標，再根據y=ax²+bx+c經過B、M兩點，利用待定系數法就可以求出函數的解析式．

解答：解：（1）由已知AM=

2

，OM=1，（1分）
在Rt△AOM中，AO=

AM2-OM2

=1，（2分）
∴點A的坐標為A（0，1）（3分）

（2）證法一：∵直線y=x+b過點A（0，1）
∴1=0+b，即b=1，
∴y=x+1，
令y=0，則x=-1，
∴B（-1，0），（4分）
AB=

BO2+AO2

=

12+12

=

2

在△ABM中，∵AB=

2

，AM=

2

，BM=2．
AB²+AM²=（

2

）²+（

2

）²=4=BM²（5分）
∴△ABM是直角三角形，∠BAM=90°，
∴直線AB是⊙M的切線．（6分）
證法二：由證法一得B（-1，0），（4分）
∵AO=BO=OM=1，AO⊥BM，
∴∠BAM=∠1+∠2=45°+45°=90°（5分）
∴直線AB是⊙M的切線．（6分）

（3）解法一：由（2）得∠BAC=90°，AB=

2

，AC=2

2

∴BC=

AB2+AC2

=

( 2 )2+(2 2 )2

=

10

∵∠BAC=90°，
∴△ABC的外接圓的直徑為BC，
∴S1=(

BC

2

)2•π=(

10

2

)2•π=

5

2

π（7分）
而S2=(

AC

2

)2•π=(

2 2

2

)2•π=2π
∵

S1

S2

=

h

4

，即

5 2 π

2π

=

h

4

，
∴h=5（8分）
設經過點B（-1，0）、M（1、0）的拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-1），（a≠0）即y=ax²-a，
∴-a=±5，
∴a=±5，
∴拋物線解析式為y=5x²-5或y=-5x²+5．（9分）
解法二：（接上）求得
∴h=5（8分）
由已知所求拋物線經過點B（-1，0）、M（1、0），則拋物線的對稱軸是y軸，
由題意得拋物線的頂點坐標為（0，±5）
∴拋物線解析式可設為y=a（x-0）²±5
∴B（-1，0）、M（1，0）在拋物線上，
∴a±5=0
∴a=?5
∴拋物線解析式為y=5x²-5或y=-5x²+5．（9分）
解法三：（接上）求得∴h=5（8分）
因為拋物線的方程為y=ax²+bx+（a≠0），由已知得

a+b+c=0 a-b+c+0 4ac-b2 4a =±5

解得

a=-5 b=0 c=5

或

a=5 b=0 c=-5.

∴拋物線解析式為y=5x²-5或y=-5x²+5．（9分）

點評：本題主要考查了切線的證明方法，以及待定系數法求函數解析式，計算量較大．