Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，

3

），△AOB的面積是

3

．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）在（2）中x軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形，使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意得

1

2

OB•

3

=

3

，
∴B（-2，0）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x+2），代入點A（1，

3

），得a=

3

3

，
∴y=

3

3

x²+

2 3

3

x，

（3）存在點C、過點A作AF垂直于x軸于點F，拋物線
的對稱軸x=-1交x軸于點E、當(dāng)點C位于對稱軸
與線段AB的交點時，△AOC的周長最小，
∵△BCE∽△BAF，
∴

BE

BF

=

CE

AF

，
∴CE=

BE•AF

BF

=

3

3

，
∴C（-1，

3

3

）．

（4）存在．如圖，設(shè)P（x，y），直線AB為y=kx+b，
則

k+b= 3 -2k+b=0

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直線AB為y=

3

3

x+

2 3

3

，
S_四BPOD=S_△BPO+S_△BOD=

1

2

|OB||Y_P|+

1

2

|OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|
=

3

3

x+

2 3

3

-（

3

3

x²+

2 3

3

x），
=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

3

x+

2 3

3

，
=-

3

3

x²-

3

3

x+

2 3

3

，
∵S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=

3

-

1

2

×2×|

3

3

x+

2 3

3

|=-

3

3

x+

3

3

，
∴

S△AOD

S四BPOD

=

- 3 3 x+ 3 3

- 3 3 x2- 3 3 x+ 2 3 3

=

2

3

，
∴x₁=-

1

2

，x₂=1（舍去），
∴P（-

1

2

，-

3

4

），
又∵S_△BOD=

3

3

x+

2 3

3

，
∴

S△BOD

S四BPOD

=