Question

【題目】已知，如圖，二次函數y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B在A點右側），點H、B關于直線l： 對稱．
（1）求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；
（2）求二次函數解析式；
（3）過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），

兩邊都除以a得：

即x2+2x﹣3=0，

解得x1=﹣3，x2=1，

∵B點在A點右側，

∴A點坐標為（﹣3，0），B點坐標為（1，0），

答：A、B兩點坐標分別是（﹣3，0），（1，0）

證明：∵直線l： ，

當x=﹣3時， ，

∴點A在直線l上

（2）解：∵點H、B關于過A點的直線l： 對稱，

∴AH=AB=4，

過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，

則 ， ，

∴頂點 ，

代入二次函數解析式，解得 ，

∴二次函數解析式為 ，

答：二次函數解析式為

（3）解：直線AH的解析式為 ，

直線BK的解析式為 ，

由 ，

解得 ，

即 ，

則BK=4，

∵點H、B關于直線AK對稱，K（3，2 ），

∴HN+MN的最小值是MB，

過K作KD⊥x軸于D，作點K關于直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，

則QM=MK， ，AE⊥QK，

∴根據兩點之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90°，

由勾股定理得QB= = =8，

∴HN+NM+MK的最小值為8，

答：HN+NM+MK和的最小值是8．

【解析】（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A點坐標和B點坐標；把A的坐標代入直線l即可判斷A是否在直線上；（2）根據點H、B關于過A點的直線l： 對稱，得出AH=AB=4，過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，求出AC和HC的長，得出頂點H的坐標，代入二次函數解析式，求出a，即可得到二次函數解析式；（3）解方程組 ，即可求出K的坐標，根據點H、B關于直線AK對稱，得出HN+MN的最小值是MB，過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解解二元一次方程組的相關知識，掌握二元一次方程組：①代入消元法；②加減消元法，以及對拋物線與坐標軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．