Question

如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內切圓圓心O，且點E在半圓弧上．①若正方形的頂點F也在半圓弧上，則半圓的半徑與正方形邊長的比是______；②若半圓的直徑AB=21，△ABC的內切圓半徑r=4，則正方形DEFG的面積為______．

Answer 1

①如圖，根據圓和正方形的對稱性可知：GH=

1

2

DG=

1

2

GF，
H為半圓的圓心，不妨設GH=a，則GF=2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=

5

a．由此可得，半圓的半徑為

5

a，正方形邊長為2a，
所以半圓的半徑與正方形邊長的比是

5

a：2a=

5

：2；


②連接OI、OJ，可得OICJ是正方形，且邊長是4，
設BD=x，AD=y，則BD=BI=x，AD=AJ=y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）²+（y+4）²=（x+y）²；
∴8（x+y）+32=2xy，
在直角三角形AEB中，可以證得△ADE∽△EBD∽△ABE，
于是得到ED²=AD•BD，即10²=x•y②．
∴正方形DEFG的面積為：100，
故答案為：①

5

：2，②100．