Question

【題目】已知拋物線c1的頂點為A（﹣1，4），與y軸的交點為D（0，3）．

（1）求c1的解析式；
（2）若直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點，求m的值；
（3）若拋物線c1關于y軸對稱的拋物線記作c2 ， 平行于x軸的直線記作l2：y=n．試結合圖形回答：當n為何值時，l2與c1和c2共有：①兩個交點；②三個交點；③四個交點；
（4）若c2與x軸正半軸交點記作B，試在x軸上求點P，使△PAB為等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線c1的頂點為A（﹣1，4），

∴設拋物線c1的解析式為y=a（x+1）2+4，

把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，

∴a=﹣1，

∴拋物線c1的解析式為：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：解 得x2+3x+m﹣3=0，

∵直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點，

∴△=9﹣4m+12=0，

∴m= ；

（3）

解：∵拋物線c1關于y軸對稱的拋物線記作c2，

∴拋物線c2的頂點坐標為（1，4），與y軸的交點為（0，3），

∴拋物線c2的解析式為：y=﹣x2+2x+3，

∴①當直線l2過拋物線c1的頂點（﹣1，4）和拋物線記作c2的頂點（1，4）時，即n=4時，l2與c1和c2共有兩個交點；

②當直線l2過D（0，3）時，即n=3時，l2與c1和c2共有三個交點；

③當3＜n＜4或n＞3時，l2與c1和c2共有四個交點

（4）

解：如圖，∵若c2與x軸正半軸交于B，

∴B（3，0），

∴OB=3，

∴AB= =4 ，

①當AP=AB=4 時，PB=8，

∴P1（﹣5，0），

②當AB=BP=4 時，

P2（3﹣4 ，0）或P3（3+4 ，0），

③當AP=PB時，點P在AB的垂直平分線上，

∴PA=PB=4，

∴P4（﹣1，0），

綜上所述，點P的坐標為（﹣5，0）或（3﹣4 ，0）或（3+4 ，0）或（﹣1，0）時，△PAB為等腰三角形．

【解析】（1）設拋物線c1的解析式為y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到結論；（2）解方程組得到x2+3x+m﹣3=0，由于直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到結論；（3）根據軸對稱的性質得到拋物線c2的解析式為：y=﹣x2+2x+3，根據圖象即可剛剛結論；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根據勾股定理得到AB= =4 ，①當AP=AB，②當AB=BP=4 時，③當AP=PB時，點P在AB的垂直平分線上，于是得到結論．