Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形△ABD與△ACE，線段BE交DC于點F，下列結論：①CD＝BE；②FA平分∠BAC；③∠BFC＝120°，④FA+FB＝FD，其中正確有（　　）個．

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

證明△ADC≌△ABE，根據全等三角形的性質可推出①③正確，在DF上取一點K，使得FK=FA，可得△AKF是等邊三角形，再證明△DAK≌△BAF，可推出④正確，證明AF平分∠DFE，根據三角形外角的性質可推出②不一定成立，故②錯誤.

解：如圖設AC交BE于點O．

∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠EAB，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE，∠AEB=∠ACD，∠ABE=∠ADC，故①正確
作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM=AN，
∴AF平分∠DFE，∠DFA=∠EFA，

在△ABF和△AFC中，

∠BAF=∠EFA-∠ABF，∠CAF=∠DFA-∠ACD，

∵∠ACD和∠ABF不一定相等，

∴無法判斷∠BAF和∠CAF相等，即無法判斷AF平分∠BAC，故②錯誤，
∵∠AOE=∠COF，
∴∠OAE=∠OFC=60°，
∴∠BFC=120°，故③正確，
在DF上取一點K，使得FK=FA，
∵∠AFK=∠AFN=60°，
∴△AKF是等邊三角形，

∴AF=AK, ∠DAB=∠KAF =60°

∴∠DAK=∠BAF

又∵AB=AD
∴△DAK≌△BAF(SAS)，
∴DK=BF，
∴DF=DK+KF=FA+FB，故④正確，
故①③④正確選：B．