Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O，A是 的中點，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長線交于點F、E，且 ．
（1）求證：△ADC∽△EBA；
（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠CDA=∠ABE．

∵ ，

∴∠DCA=∠BAE．

∴△ADC∽△EBA

（2）解：∵A是 的中點，

∴

∴AB=AC=8，

∵△ADC∽△EBA，

∴∠CAD=∠AEC， ，

即 ，

∴AE= ，

∴tan∠CAD=tan∠AEC= = =

【解析】（1）欲證△ADC∽△EBA，只要證明兩個角對應相等就可以．可以轉化為證明且 就可以；（2）A是 的中點，的中點，則AC=AB=8，根據△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，求得AE，根據正切三角函數的定義就可以求出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用圓周角定理和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．