Question

已知：如圖，△ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG∥BC，交AC于點G，在GD的延長線上取點E，使DE＝DB，連接AE、CD．

(1)求證：△AGE≌△DAC；

(2)過點E作EF∥DC，交BC于點F，請你連接AF，并判斷△AEF是怎樣的三角形，試證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵EG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°．∴△ADG是等邊三角形．∴AD＝DG＝AG．∵DE＝DB，∴EG＝AB．∴GE＝AC．∴在Rt△AGE和△DAC中，∵EG＝AB＝GA．∠AGE＝∠DAC＝60°，AG＝DA，∴△AGE≌△DAC．(2)如圖，連接AF，則△AEF是等邊三角形．∵EG∥BC，EF∥DC，∴四邊形EFCD是平行四邊形．∴EF＝DC，∠DEF＝∠DCF．∵△AGE≌△DAC，∴AE＝CD，∠AED＝∠ACD．∵EF＝CD＝AE，∠AED＋∠DEF＝∠ACD＋∠DCB＝60°，∴△AEF是等邊三角形．