Question

【題目】如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E，F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．

（1）求證：直線PA為⊙O的切線；

（2）試探究線段EF，OD，OP之間的等量關系，并加以證明；

（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和線段PE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF2=4ODOP，證明見解析；（3），.

【解析】

試題分析：（1）連接OB，根據垂徑定理的知識，得出OA=OB，∠POA=∠POB，從而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質結合切線的判定定理即可得出結論；

（2）先證明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性質得出OA與OD、OP的關系，然后將EF=2OA代入關系式即可；

（3）根據題意可確定OD是△ABC的中位線，設AD=x，然后利用三角函數的知識表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，從而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=ODOP，代入數據即可得出PE的長.

試題解析：（1）如圖，連接OB，

∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO=90°.

∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.

又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）.

∴∠PAO=∠PBO=90°. ∴直線PA為⊙O的切線.

（2）EF2=4ODOP，證明如下：

∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.

∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ∴，即OA2=ODOP.

又∵EF=2OA，∴EF2=4ODOP.

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位線定理）.

設AD=x，

∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3.

在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32，

解得，x1=4，x2=0（不合題意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5.

∵AC是⊙O直徑，∴∠ABC=90°.

又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=.

∵OA2=ODOP，∴3（PE+5）=25.∴PE=.