Question

如圖，已知點F的坐標為（0，1），過點F作一條直線與拋物線y=

1

4

x2交于點A和點B，若以線段AB為直徑作圓，則該圓與直線y=-1的位置關系是

 

．

Answer 1

分析：設AB的中點為E，分別過A、E、B作y=-1的垂線，易知EG是梯形ABDC的中位線，則AC+BD=2EG；設出直線AB的解析式，分別求出A、B點的坐標；然后表示出AC、BD、AB的長；若AC+BD=2EG=AB則以AB為直徑的圓與y=-1相交，若2EG＞AB則相離，若2EG＜AB則相交．

解答：解：如圖；設AB的中點為E，分別過A、E、B作y=-1的垂線，垂足為C、G、D；
設直線AB的解析式為y=kx+1；
聯立拋物線解析式，得：

y=kx+1 y= 1 4 x2

，
解得

x=2k+2 k2+1 y=2k2+1+2k k2+1

，

x=2k-2 k2+1 y=2k2+1-2k k2+1

；
故A（2k-2

k2+1

，2k²+1-2k

k2+1

），B（2k+2

k2+1

，2k²+1+2k

k2+1

）；
∴AB=4k²+4，AC=2k²+1-2k

k2+1

+1，BD=2k²+1+2k

k2+1

+1；
∴AC+BD=4k²+4=AB；
易知EG是梯形ACDB的中位線，則AC+BD=2EG；
∴AB=2EG，
∴以AB為直徑的圓與y=-1相切．

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到：函數圖象交點坐標的求法、梯形中位線定理、直線與圓的位置關系等．