Question

如圖，已知點B的坐標為（6，9），點A的坐標為（6，6），點P為⊙A上一動點，PB的延長線交⊙A于點N、直線CD⊥AP于點C，交PN于點D，交⊙A于E、F兩點，且PC：CA=2：3．
（1）當點P運動使得點E為劣弧

PN

的中點時，求證：DF=DN；
（2）在（1）的條件下求tan∠CDP的值；
（3）當⊙A的半徑為5，且△APD的面積取得最大值時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）連接NF，由CD⊥AP，根據垂徑定理得到弧PE=弧PF，而弧PE=弧NE，則弧EN=弧PF，根據同弧或等弧所對的圓周角相等得到∠PNF=∠EFN，根據等腰三角形的性質即可得到結論；
（2）連接AE、AN，AE交PN于Q點，弧PE=弧NE，根據垂徑定理的推論得到AE⊥PN，而CD⊥AP，則∠DCP=∠AQP=90°，根據等角的余角相等得到∠QAP=∠CDP，由PC：CA=2：3，不妨設⊙A的半徑為5k，則CA=3k，AE=5k，在Rt△ACE中，根據勾股定理計算EC=

(5k)2-(3k)2

=4k，根據正切的定義即可得到tan∠CDP=tan∠EAC=

4k

3k

=

4

3

；
（3）過點A作AQ⊥PB于Q，由⊙A的半徑為5，PC：CA=2：3，得到PC=2，易證Rt△PCD∽Rt△PQA，則PD：PA=PC：PQ，所以PD=

PC•PA

PQ

=

2×5

PQ

=

10

PQ

，當PQ最小時，PD最大，而AQ≤AB，則AQ=AB時，AQ最大，此時AB⊥PB，由PQ=

PA2-AQ2

，得到此時PQ最小，則PD最大，又因為CD=

PD2-PC2

，得到此時CD最大，即AB⊥PB時，CD最大，由S_△APD=

1

2

AP•DC得到此時△APD的面積也達到最大，
由點B的坐標為（6，9），點A的坐標為（6，6），可得AB=3，利用勾股定理可計算出PB=4，于是可得到點P的坐標為（2，9），或（10，9）．

解答：（1）證明：如圖，連接NF，
∵CD⊥AP，
∴弧PE=弧PF，
又∵點E為劣弧PN的中點，
∴弧PE=弧NE，
∴弧EN=弧PF，
∴∠PNF=∠EFN，
∴DF=DN；

（2）解：如圖，連接AE、AN，AE交PN于Q點，
∵弧PE=弧NE，
∴AE⊥PN，
∵CD⊥AP，
∴∠DCP=∠AQP=90°，
∴∠QAP=∠CDP，
∵PC：CA=2：3，不妨設⊙A的半徑為5k，則CA=3k，AE=5k，
在Rt△ACE中，EC=

(5k)2-(3k)2

=4k，
∴tan∠CDP=tan∠EAC=

4k

3k

=

4

3

；

（3）解：過點A作AQ⊥PB于Q，如圖，
∵⊙A的半徑為5，PC：CA=2：3，
∴PC=2，
∵∠PCD=∠PQA=90°，
∴Rt△PCD∽Rt△PQA，
∴PD：PA=PC：PQ，
∴PD=

PC•PA

PQ

=

2×5

PQ

=

10

PQ

，
當PQ最小時，PD最大，
∵AQ≤AB，
∴AQ=AB時，AQ最大，此時AB⊥PB，
而PQ=

PA2-AQ2

，
此時PQ最小，則PD最大，
又∵CD=

PD2-PC2

，
∴此時CD最大，
即AB⊥PB時，CD最大，如圖，
而S_△APD=

1

2

AP•DC，
∴此時△APD的面積也達到最大，
∵點B的坐標為（6，9），點A的坐標為（6，6），
∴AB=3，
∴PB=

PA2-AB2

=4，
∴點P的坐標為（2，9），或（10，9）．

點評：本題考查了圓的綜合題：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧；平分弦所對弧的直徑垂直平分弦；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；運用相似三角形的判定與性質可得到線段的比例關系；運用勾股定理和三角函數進行幾何計算．