Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A(-1，0)，B(3，0)，交y軸的正半軸于點C，對稱軸交拋物線于點D，交x軸與點E，則下列結論：①2a+b=0；②b+2c>0；③a+b>am+bm（m為任意實數）；④一元二次方程有兩個不相等的實數根；⑤當△BCD為直角三角形時，a的值有2個；⑥若點P為對稱軸上的動點，則有最大值，最大值為．其中正確的有（ ）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由A(-1，0)，B(3，0)得出拋物線的對稱軸，利用對稱軸判斷①，利用對稱軸與函數的最大值判斷②，利用不同的的值對應不同的函數值，數型結合判斷③，利用兩個函數的交點判斷④，利用兩條直線互相垂直時， 求出的值判斷⑤，利用三角形任意兩邊的差小于第三邊，判斷⑥．

解：因為A(-1，0)，B(3，0)，所以拋物線的對稱軸是，所以，

從而①2a+b=0正確．

又因為當，＞0，把2a+b=0化為代入＞0得：＞0，即b+2c>0，所以②正確．

又因為當，，當，，由拋物線的性質知道：函數的最大值是，所以為任意實數時有，所以，所以③錯誤．

由化為，考查函數與的交點個數，顯然兩個函數有兩個交點，所以④一元二次方程有兩個不相等的實數根正確．

因為拋物線過點A(-1，0)，B(3，0)，

所以： 解得：

所以拋物線為

所以C（0，），D（1，）而B（3，0）

所以，，，

當時，，解得：，（舍去）

當時，，解得：，（舍去）

當時，，方程無解，所以⑤正確．

如下圖，因為A，B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，所以＝，當P，A，C三點不共線時總有＜AC，而且只有P，A，C三點共線時有＝AC，所以有最大值且等于AC，又因為A(-1，0)，C(0，c)，所以，故⑥錯誤．

故選C．