Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A，C（1，0），與y軸交于點B（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB下方的拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為點F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．當△PDE的周長最大時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）P（－，－）.

【解析】

（1）根據待定系數法即可求解；

（2）先求出點A的坐標，得出∠AEF＝45°，再根據，可得△PDE是等腰直角三角形，從而得到△PDE的周長與PE的關系式，可知PE最大時，△PDE的周長最大，設點F的橫坐標為m，將PE用含m的式子表示，最后根據二次函數的性質即可求解．

（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過點B（0，﹣3），C（1，0），

∴c=-3，1+b+c=0，

解得：b=2，c=-3，

∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）在y＝x2+2x﹣3中，y＝0時，x1＝1，x2＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

∵B（0，-3），

∴OA＝OB＝3，

∴∠BAO＝45°，

∵PF⊥x軸，

∴∠AEF＝45°，

可得△PDE是等腰直角三角形，

由A（﹣3，0），B（0，3）得直線AB的解析式為：y=-x-3，

C△PDE=PE+PD+DP

=PE+PE+PE

=（+1）PE，

設P（m，m2+2m﹣3），則E(m，－m－3)，PE=－m2－3m

C△PDE=（+1）（－m2－3m）

=－（+1）（m+）2+（+1），

∴當m=－時，△PDE的周長越大，此時P點坐標為（－，－）.