Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于軸對稱，點P是軸上的一個動點，設點P的坐標為（，0），過點P作軸的垂線交拋物線于點Q，交直線BD于點M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

（2）點P在線段AB上運動的過程中，是否存在點Q，使得以B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）已知點F（0，），點P在軸上運動，試求當為何值時，以D、M、Q、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點Q，使得以B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似，點Q的坐標為（3，2）或（，0）；（3）當或或或時，以D、M、Q、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】

（1）根據題意可設拋物線的解析式為，得出a的值，再代入解析式即可

（2）存在點Q，使得以B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似，則分為以下兩種情況①當∠DOB=∠MBQ=90°時，可以得到△MBQ∽△BPQ即可解答，②當∠BQM=90°時，此時點Q與點A重合，△BOD∽△BQM′即可解答

（3）根據題意可知點D坐標為（0，），得到直線BD解析式為，因為QM⊥軸，P（，0），則，因為F，、D（0，），，所以當QM=DF，即時，以D、M、Q、F為頂點的四邊形是平行四邊形，即可解答

解：（1）∵拋物線過點A（，0）、B（4，0），

∴可設拋物線的解析式為，

∵拋物線經過點C（0，2），

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）存在點Q，使得以B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似.

如圖所示：

∵QM∥DC，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下兩種情況：

①當∠DOB=∠MBQ=90°時，△DOB∽△MBQ，

則，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，

∵∠MPB=∠BPQ=90°，

∴∠MBP+∠BMP=90°，

∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴，

∵P（，0），B（4，0），

∴BP，，

∴，

解得：，

當時，點P、Q、M均與點B重合，不能構成三角形，舍去，

∴，點Q的坐標為（3，2）； ,

②當∠BQM=90°時，此時點Q與點A重合，△BOD∽△BQM′，

此時m=-1，點Q的坐標為（，0）；

綜上，點Q的坐標為（3，2）或（，0）時，以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似．

（3）∵點D與點C（0，2）關于軸對稱，

∴點D坐標為（0，），

設直線BD解析式為，

則有：，解得：，

∴直線BD解析式為，

∵QM⊥軸，P（，0），

∴Q、M，

則，

∵F，、D（0，），

∴，

∵QM∥DF，

∴當QM=DF，即時，以D、M、Q、F為頂點的四邊形是平行四邊形，

解得：m=-1或m=3或或，

即m=-1或m=3或或時，以D、M、Q、F為頂點的四邊形是平行四邊形．