Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x軸于A，B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長；
（3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）經過點A（3，0），點C（0，4），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）解：設直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，0），點C（0，4），

∴ ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+4．

∵點M的橫坐標為m，點M在AC上，

∴M點的坐標為（m，﹣ m+4），

∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線y=﹣ x2+ x+4上，

∴點P的坐標為（m，﹣ m2+ m+4），

∴PM=PE﹣ME=（﹣ m2+ m+4）﹣（﹣ m+4）=﹣ m2+4m，

即PM=﹣ m2+4m（0＜m＜3）

（3）解：在（2）的條件下，連結PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似．理由如下：

由題意，可得AE=3﹣m，EM=﹣ m+4，CF=m，若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，P點在F上，PF=﹣ m2+ m+4﹣4=﹣ m2+ m．情況：

①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，

即（﹣ m2+ m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m= ．

∵△PFC∽△AEM，

∴∠PCF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，

∴∠PCF=∠CMF．

在直角△CMF中，

∵∠CMF+∠MCF=90°，

∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，

∴△PCM為直角三角形；

②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，

即m：（3﹣m）=（﹣ m2+ m）：（﹣ m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=1．

∵△CFP∽△AEM，

∴∠CPF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，

∴∠CPF=∠CMF．

∴CP=CM，

∴△PCM為等腰三角形．

綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為 或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．

【解析】（1）把AC兩點坐標代入解析式即可；（2）豎直線段的長等于上縱減下縱，用m的代數式表示P、M的縱坐標，二者相減即可；（3）兩三角形的相似須分類討論：△PFC∽△AEM或△CFP∽△AEM；由邊方面的關系相等或角之間的關系可判定△PCM為直角三角形或等腰三角形.