Question

【題目】已知：如圖，直線y=3x+3與x軸交于C點，與y軸交于A點，B點在x軸上，△OAB是等腰直角三角形．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）若直線CD∥AB交拋物線于D點，求D點的坐標；

（3）若P點是拋物線上的動點，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標和△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（4，﹣5）；（3）在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大；P點的坐標為（，），最大值為：．

【解析】

試題分析：（1）求得直線y=3x+3與坐標軸的兩交點坐標，然后根據OB=OA即可求得點B的坐標，然后利用待定系數法求得經過A、B、C三點的拋物線的解析式即可；

（2）首先利用待定系數法求得直線AB的解析式，然后根據CD∥AB得到兩直線的k值相等，根據直線CD經過點C求得直線CD的解析式，然后求得直線CD和拋物線的交點坐標即可；

（3）本問關鍵是求出△ABP的面積表達式．這個表達式是一個關于P點橫坐標的二次函數，利用二次函數求極值的方法可以確定P點的坐標．

解：（1）令y=3x+3=0得：x=﹣1，

故點C的坐標為（﹣1，0）；

令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3

故點A的坐標為（0，3）；

∵△OAB是等腰直角三角形．

∴OB=OA=3，

∴點B的坐標為（3，0），

設過A、B、C三點的拋物線的解析式y=ax2+bx+c，

解得：

∴解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，

∴

解得：

∴直線AB的解析式為：y=﹣x+3

∵線CD∥AB

∴設直線CD的解析式為y=﹣x+b

∵經過點C（﹣1，0），

∴﹣（﹣1）+b=0

解得：b=﹣1，

∴直線CD的解析式為：y=﹣x﹣1，

令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3，

解得：x=﹣1，或x=4，

將x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5，

∴點D的坐標為：（4，﹣5）；

（3）存在．如圖1所示，設P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，

過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x．

S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB

=（OA+PN）ON+PNBN﹣OAOB

=（3+y）x+y（3﹣x）﹣×3×3

=（x+y）﹣，

∵P（x，y）在拋物線上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：

S△PAB=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+，

∴當x=時，S△PAB取得最大值．

當x=時，y=﹣x2+2x+3=，

∴P（，）．

所以，在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大；

P點的坐標為（，），最大值為：．