Question

【題目】如圖，已知在等腰 Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB＝2，若將△ABC翻折，折痕EF分別交邊AC、邊BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)E不與A點(diǎn)重合，點(diǎn)F不與B點(diǎn)重合），且點(diǎn)C落在AB邊上，記作點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB，交射線AC于點(diǎn)K，設(shè)AD＝x，y＝cot∠CFE，

（1）求證：△DEK∽△DFB；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；

（3）聯(lián)結(jié)CD，當(dāng)＝時(shí)，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）y＝,定義域：2－＜x＜ （3）x＝－1或3－．

【解析】

試題分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明∠EKD＝∠B，利用圖形折疊的性質(zhì)得到∠EDK=∠FDB，即可得出結(jié)論；（2）利用△DEK∽△DFB，得出＝，從而y＝cot∠CFE＝cot∠DFE＝＝

代入化簡(jiǎn)即可，定義域：2－＜x＜ （3）取線段EF的中點(diǎn)O，連接OC、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OC=OD=EF．設(shè)EF與CD交點(diǎn)為H，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EF⊥CD，且CH=DH=CD．由可得tan∠HOC=，從而得到∠HOC=60°,然后分①若點(diǎn)K在線段AC上和②若點(diǎn)K在線段AC的延長(zhǎng)線上，兩種情況討論，得到y(tǒng)的值，再把y的值代入函數(shù)解析式就可求出x的值．

試題解析：（1）在等腰 Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A＝∠B=45°

又∵DK⊥AB,∴∠EKD＝45°∴∠EKD＝∠B

∵將△ABC翻折后點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D處

∴∠EDF=∠C＝90°

∵∠KDA= ∠KDB=90°

∴∠EDK=90°－∠KDF, ∠FDB=90°－∠KDF

∴∠EDK=∠FDB

∴△DEK∽△DFB

(說(shuō)明：點(diǎn)K在線段AC延長(zhǎng)線上時(shí)等同于在線段上的相似的情況，故不必分類證明)

（2）∵△DEK∽△DFB，∴＝

∵∠DFE＝∠CFE，∴y＝cot∠CFE＝cot∠DFE＝＝

∵AD＝x，AB＝2，∴DK＝AD＝x，DB＝2－x，∴＝，∴y＝

定義域：2－＜x＜

（3）方法一：設(shè)CD與EF交于點(diǎn)H，CD被折痕EF垂直平分，CD=2 CH

∵＝，∴=，設(shè)CH=，EF=4

∵CD⊥EF,∠C＝90°

∴∠EHC＝∠CHF=90°, ∠ECH=∠CFH=90°－∠HCF

∴△ECH∽△CFH, 得：∴=, 即

設(shè)EH=a，則得： 解得：

當(dāng)EH=k時(shí)，∠ECHspan>=∠CFE=30°,

∴y＝＝cot30°＝，∴x＝－1；

當(dāng)EH=3k時(shí)，∠ECH=∠CFE=60°,

∴y＝＝cot60°＝，∴x＝3－；

經(jīng)檢驗(yàn)：x＝－1，x＝3－分別是原各方程的根，且符合題意；

綜上所述，x＝－1或x＝3－．

方法二：設(shè)CD與EF交于點(diǎn)H，取EF的中點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OC，

∴CH⊥EF，CH＝CD，CO＝EF．

∵＝，∴＝．

當(dāng)0＜AD＜1時(shí)（如圖備一），在Rt△COH中，∠COH＝60°，

∴∠CFE＝30°，∴y＝＝cot30°＝，∴x＝－1；

當(dāng)1＜AD＜2時(shí)（如圖備二），

在Rt△COH中，∠COH＝60°，

∴∠CFE＝60°，∴y＝＝cot60°＝，∴x＝3－．

經(jīng)檢驗(yàn)：x＝－1，x＝3－分別是原各方程的根，且符合題意；

綜上所述，x＝－1或x＝3－．