Question

如圖所示，在△ABC中，若D、E、F分別是BC、AC、AB的中點，那么圖中共有多少對面積相等的三角形？

Answer 1

答案：
解析：

不妨設S△OBD＝1，則S△ODC＝1，∴S△BOC＝2． 　　∴S△AOB＝S△OBC＝2．又S△AOF＝S△BOF，∴S△AOF＝S△BOF＝1． 　　同理可得S△AOE＝S△COE＝1，∴S△AOC＝2． 　　∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABE＝S△BCE＝S△ACF＝S△CFB＝3． 　　因此圖中面積為1的三角形共有6個，可分為＝15(對)．圖中面積為2的三角形有3個，可分為＝3(對)．圖中面積為3的三角形有6個，可分為＝15(對)． 　　綜上所述，面積相等的三角形共有15＋3＋15＝33(對)． 　　分析：由于D、E、F分別是△ABC的各邊中點，故AD、BE、CF分別是△ABC的三條中線，同理OD、OE、OF也分別為△BOC、△AOC、△AOB的中線．根據三角形的面積公式，可知三角形的一務中線把它分成兩部分，面積相等．比如D是BC的中點，則有S△ABD＝·BD·h，S△ADC＝·DC·h 　　由于BD＝DC， 　　∴S△ABD＝S△ADC． 　　于是可用同樣的方法找出圖形中面積相等的三角形共有33對．