Question

【題目】如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．（1）判斷直線CD和⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求∠BEC的正切值．

Answer 1

【答案】（1）直線CD與⊙O的位置關系是相切．理由見解析；（2 ）.

【解析】【試題分析】

（1）證明切線的方法，知道直線與圓的交點，連接半徑證垂直半徑，即可.

（2）BC已知，關鍵是求BE 的長度，在Rt 中，OA=5，OD=3，根據勾股定理得CD=4，在Rt 中,設BE=DE=x，列出勾股定理方程（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，所以tan∠BEC=.

【試題解析】

（1）直線CD與⊙O的位置關系是相切．

理由：

連接OD，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即：OD⊥CE，

∴直線CD 是⊙O的切線．

即：直線CD 與⊙O的位置關系是相切．

（2）∵AC=2，⊙O的半徑是3，

∴OC=2=3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4．

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

設DE=EB=x，

在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE2=BE2+BC2，

則 （4+x）2=x2+（5+3）2，

解得：x=6，

即 BE=6，

∴tan∠BEC=，

即：tan∠BEC=．