Question

4．已知，如圖，直線AB經過點B（0，6），且tan∠ABO=$\frac{2}{3}$，與拋物線y=ax²+2在第一象限內相交于點P，又知△AOP的面積為6．
（1）求a的值；   
（2）能否將拋物線y=ax²+2平移使得平移后的拋物線經過點A？

Answer 1

分析 （1）根據題意求得點A、B的坐標，作PC⊥OA于C，根據三角形面積求得P的縱坐標，然后根據平行線分線段成比例求得點P的橫坐標，代入二次函數即可求解．將P點坐標代入解析式，列方程求出a值即可．
（2）設平移后的拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+2+k，代入A的坐標求得k即可．

解答 解：（1）∵直線AB經過點B（0，6），且tan∠ABO=$\frac{2}{3}$，
∴OB=6，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴OA=4，
∴A（4，0），
∵△AOP的面積為6，
設點P的坐標為（m，n），
∴$\frac{1}{2}$×4×n=6，
∴n=3．
作PC⊥OA于C，
∴PC∥OB，
∴$\frac{PC}{OB}$=$\frac{AC}{OA}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{AC}{4}$，
∴AC=2，
∴P的橫坐標為m=4-2=2，
∵點P在拋物線y=ax²+2上，
∴3=4a+2，
∴a=$\frac{1}{4}$．
（2）設平移后的拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+2+k，
把A（4，0）代入y=$\frac{1}{4}$x²+2+k得，4+2+k=0，
解得k=-6，
∴將拋物線y=ax²+2向下平移6個單位，使得平移后的拋物線經過點A．

點評 本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，求得P點的坐標是解題的關鍵．