Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知點和點的坐標分別為，，將繞點按順時針分別旋轉，得到，，拋物線經過點，，；拋物線經過點，，.

（1）點的坐標為________，點的坐標為________；拋物線的解析式為________，拋物線的解析式為________；

（2）如果點是直線上方拋物線上的一個動點.

①若，求點的坐標；

②如圖2，過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點，記，求與的函數關系式.當時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，：，：.（2）①符合條件的點的坐標為或.②.

【解析】

（1）根據旋轉的性質，可得C，E，F的坐標，根據待定系數法求解析式；

（2）①根據P點關于直線CA或關于x軸對稱直線與拋物線交點坐標，求出解析式，聯立方程組求解；

②根據圖象上的點滿足函數解析式，可得P、N、M縱坐標，根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據x取值范圍討論h范圍．

（1）由旋轉可知，OC=6，OE=2，

則點C坐標為（-6，0），E點坐標為（2，0），

分別利用待定系數法求C1解析式為：y=-x24x6，C2解析式為：y=-x22x+6

（2）①若點P在x軸上方，∠PCA=∠ABO時，則CA1與拋物線C1的交點即為點P，如圖，

設直線CA1的解析式為：y=k1x+b1

∴

解得

∴直線CA1的解析式為：y=x+2

聯立：，解得或（舍去），

∴P()

若點P在x軸下方，∠PCA=∠ABO時，則CH與拋物線C1的交點即為點P，如圖，

易知OH=OA，

∴H（0，-2）

設直線CH的解析式為：y=k2x+b2

∴

解得

∴直線CH的解析式為：y=x-2

聯立：，解得或（舍去），

∴；

∴符合條件的點的坐標為或.

②設直線的解析式為：，

∴，解得，

∴直線的解析式為：，

過點作于點，則，

設P(x，-x24x6)

∴，

，

，

，

當時，的最大值為21.

∵，當時，；

當時，；

當時，的取值范圍是.