Question

【題目】如圖1，點O在線段AB上，AO＝2，OB＝1，OC為射線，且∠BOC＝60，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發，沿射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒．

（1）當t＝ 時，則OP＝ ，S△ABP＝ ；

（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；

（3）如圖2，當AP＝AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求證：AQ·BP＝3．

Answer 1

【答案】（1）1， ；（2）1或；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）如答圖1所示，作輔助線，利用三角函數或勾股定理求解；

（2）當△ABP是直角三角形時，有三種情形，需要分類討論；

（3）如答圖4所示，作輔助線，構造一對相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似關系證明結論．

試題解析：（1）1，

（2）①∵∠A＜∠BOC＝60，∴∠A不可能是直角

②當∠ABP＝90時

∵∠BOC＝60，∴∠OPB＝30

∴OP＝2OB，即2t＝2

∴t＝1

③當∠APB＝90時

作PD⊥AB，垂足為D，則∠ADP＝∠PDB＝90

∵OP＝2t，∴OD＝t，PD＝t，AD＝2＋t，BD＝1－t（△BOP是銳角三角形）

∴AP 2＝( 2＋t )2＋3t 2，BP 2＝( 1－t )2＋3t 2

∵AP 2＋BP 2＝AB 2，∴( 2＋t )2＋3t 2＋( 1－t )2＋3t 2＝9

即4t 2＋t－2＝0，解得t1

解得t1＝，t2＝（舍去）

綜上，當△ABP是直角三角形時，t＝1或

（3）

連接PQ，設AP與OQ相交于點E

∵AQ∥BP，∴∠QAP＝∠APB

∵AP＝AB，∴∠APB＝∠B

∴∠QAP＝∠B

又∵∠QOP＝∠B，∴∠QAP＝∠QOP

∵∠QEA＝∠PEO，∴△QEA∽△PEO

∴

又∵∠PEQ＝∠OEA，∴△PEQ∽△OEA

∴∠APQ＝∠AOQ

∵∠AOC＝∠AOQ＋∠QOP＝∠B＋∠BPO

∴∠AOQ＝∠BPO，

∴∠APQ＝∠BPO

∴△APQ∽△BPO，

∴

∴AQ·BP＝AP·BO＝3×1＝3