Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，將一個直角三角形60°角的頂點與點C重合，再將三角形繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0°且小于30°）．旋轉后三角形的一直角邊與AB交于點D，在直角三角形斜邊上取一點F，使CF＝CD，線段AB上取點E，使∠DCE＝30°，連接EF．

（1）求∠EAF的度數；

（2）DE與EF相等嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）DE=EF，理由見解析

【解析】

由等邊三角形的性質得出，，求出，可依據SAS證明≌，得出，求出；

證出，由SAS證明≌，得出即可．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，∠ACB=∠BAC=∠B=60°，

又∵∠DCF=60°，

∴∠DCF=∠ACB，

∴∠DCF-∠ACD=∠ACB-∠ACD，

∴∠ACF＝∠BCD，

在△ACF和△BCD中，

，

∴△ACF≌△BCD（SAS），

∴∠CAF＝∠B＝60°，

∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120°；

（2）DE＝EF，理由如下：

∵∠DCF＝60°，∠DCE＝30°，

∴∠FCE＝60°﹣30°＝30°，

∴∠DCE＝∠FCE，

在△DCE和△FCE中，

，

∴△DCE≌△FCE（SAS），

∴DE＝EF．