Question

已知拋物線y=x²+x+4．
（1）求此拋物線對稱軸與橫軸交點A的坐標；
（2）設原點為O，在拋物線上任取點P，求三角形OAP的面積的最小值；
（3）若x為整數，在使得y為完全平方數的所有x的值中，設x的最大值為a，最小值為b，次小值為c．（注：一個數如果是另一個整數的完全平方，那么我們就稱這個數為完全平方數．）求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的對稱軸，再根據x軸上點的坐標特點即可得出A點坐標；
（2）求出拋物線的頂點坐標，再根據三角形的面積公式解答即可；
（3）設x²+x+4=k²（k為非負整數），則有x²+x+4-k²=0，再由x為整數知其△為完全平方數，根據△的值即可求出p的值，進而可得出a、b、c的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+x+4的對稱軸為x=-

1

2

，
∴A點坐標為（-

1

2

，0）

（2）當x=-

1

2

時，y=（-

1

2

）²+（-

1

2

）+4=

15

4

，
此函數圖象頂點坐標為（-

1

2

，3

3

4

），
當P為頂點時，△OAP的面積最小為

1

2

×

1

2

×

15

4

=

15

16

；

（3）設x²+x+4=k²（k為非負整數），則有x²+x+4-k²=0，
由x為整數知其△為完全平方數（也可以由△的公式直接推出），
即1-4（4-k²）=p²（p為非負整數），
得（2k+p）（2k-p）=15，顯然：2k+p＞2k-p，
所以

2k+p=15 2k-p=1

或

2k+p=5 2k-p=3

，解得p=7或p=1，
所以m=

-1+p

2

，得：x₁=3，x₂=-4，x₃=0，x₄=-1，
所以a=3，b=-4，c=-1．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，熟知二次函數的頂點坐標、三角形的面積公式及完全平方數的相關知識是解答此題的關鍵．